INTEGRALES

La integración es un concepto fundamental del calculo y del análisis matemático, la integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Integrar es el proceso reciproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las derivables de F(x) tales que:

  F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene una primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

  [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

FORMULAS DE INTEGRACIÓN:

Ejemplos:

Integración de una constante:

Ejemplos:

Integración de una potencia:

Ejemplos:

Aplicación de integrales en la arquitectura: su aplicación tiene una función en especial, crear proyectos con formas complejas y dinámicas. Los procesos geométricos y de calculo nos permiten manipular con mayor precisión  nuestro diseño para llegar a resultados óptimos y adecuados. Su aplicación se muestra en aquellas construcciones que tienen su estructura amorfa, donde el calculo de su área resulta un poco complejo es por eso que se aplican las integrales definidas.

Webgrafia: 
http://es.slideshare.net/franklingualaquiza/aplicacin-de-la-integral-definida-en-la-arquitectura
http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html
http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/ejercicios_integrales.html
http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm
http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

APLICACION DE LAS DERIVADAS EN LA ARQUITECTURA

DERIVADAS: la derivada de una función f, es aquella función, denotada por f´, tal que su valor, en cualquier número x del dominio de f, está dado por:

si este límite existe.

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA:

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

TEOREMAS O REGLAS DE DERIVACION: 

Derivada de una constante: la derivada de una constante es cero.

Derivada de una potencia: la derivada de una potencia es igual al producto del exponente por la potencia disminuido el exponente en 1.

Derivada de la variable: la derivada de una variable es 1.

Derivada de una constante por una función: la derivada del producto de una constante por una función, es igual a la constante por la derivada de la función.

Derivada de una suma: la derivada de una suma, es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

Derivada de un producto: la derivada de un producto es igual a la primera función por la derivada de la segunda función, mas, la segunda función por la derivada de la primera función.

Derivada de un cociente: la derivada de un cociente es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos, el numerador por la derivada del denominador, todo sobre el cuadrado del denominador.

Regla de la cadena: si una función g es diferenciable en x, u la función f lo es en g(x), entonces, la función compuesta (f o g) es diferenciable en x, y por lo tanto:

EJEMPLOS:

APLICACIÓN DE DERIVADAS EN LA ARQUITECTURA:

Las derivadas se utilizan en ocasiones para construcciones propuestas que requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares ¿Cómo las calculas? Cuando tengamos que hacer análisis de partida, para los cómputos tenemos que calcular, realmente hay varias cosas que se pueden construir y calcular que son limitadas básicamente por las dificultades técnicas para la ejecución de las obras, pero si hacemos el cálculo preciso en el tiempo indicado tendremos un buen resultado.

  

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LIMITE DE UNA FUNCIÓN:

El límite de una función, se calcula aplicando los llamados teoremas sobre límites:

Teorema 1: el límite de una constante siempre es la misma constante, este teorema es fácil de deducir, puesto que si la expresión no contiene variable, entonces el limite será la misma constante.

Teorema 2: el límite de la variable cuando x tiende a esa.

LIMITES UNILATERALES

Una función tiene límite, cuando al acercarnos a un determinado valor de la variable, tanto por la derecha como por la izquierda el valor de función tiende a un mismo valor.

Un límite es por la izquierda cuando se aproxima con valores menores al valor dado, y un límite es por la derecha, cuando se aproxima con valores ligeramente mayores al valor dado.

LIMITES INFINITOS

Sea la función

Observamos que cuando x se aproxima a dos tanto por la derecha como por la izquierda el valor de la función crece indefinidamente, entonces diremos que f(x) crece sin límite a medida que x se aproxima a 2.

CONTINUIDAD

Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; es decir que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel.

Una función continua proporciona la expresión matemática de una situación que aparece con frecuencia en la vida diaria, por ejemplo, las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos s = f(t) que expresan la dependencia de la distancia s respecto del tiempo t, puesto que el tiempo y la distancia son continuos, así podríamos citar muchos ejemplos más.

• ·         Una función polinomial es continua en cualquier número real.
• ·        Una función racional es continua en todo número de su dominio es decir en todos los valores en los que está definida la función.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Una función es continua en x = a cuando no hay interrupción en la gráfica de f en a. su gráfica no se interrumpe en ningún momento.

Formalmente una función f es continua en un punto x = a si esta definida en ese punto.

LIMITES Y SU APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA

Los limite en la arquitectura se los puede tomar como algo importante para la estructuración de edificios y distintas construcciones, tener conocimiento de las mismas nos puede facilitar el uso o en ciertas ocasiones la construcción de columnas, vigas entre otros. Los limites incluyen la manera de diseñar, es decir podemos basarnos en estos para tener en cuenta hasta donde puede llegar un espacio sin importar su uso.

Funciones 

Función algebraica.

Cualquier función racional es una función algebraica, se pueden construir usando las operaciones suma, resta, multiplicación y sacar raíces. Al trazar diferentes funciones puede notar que las gráficas con distintas entre sí.

La aplicación de esta función en la arquitectura es muy importante ya que por medio de esta podemos calcular diversas estrategias de calculo que nos servirán para entender, crear o modificar diversas estructuras que analizaremos en un futuro.

Función exponencial.

Se llama función exponencial a la función f(x)=a^x , en la que a>0 y xϵR se llama función exponencial de base a. La base a es un número real positivo, a puede ser mayor a 1 (a>1), la base puede ser un numero comprendido entre 0 y 1 es decir una fracción propia positiva (0<a<1).

La función exponencial es muy importante para emplearla en la construcción de edificios como por ejemplo la Torre Eiffel que fue elaborada a base de dos ecuaciones diferentes interconectadas una por la mitad superior de la torre y otra en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad de la estructura de su base. Las funciones son infinitas siempre para acercarnos a un límite.

Función logarítmica.

Se llama función logarítmica a la función f(x)=log_a X, solo los números reales positivos tienen logaritmo, (ni el cero, ni los números negativos tienen logaritmo), es decir:

Si x>1 entonces log_a x>0

Si 0<x<1 entonces log_a x<0

Si x=1 entonces log_a x=0

Si dos logaritmos de una misma base son iguales, entonces los números correspondientes son iguales.

La función logarítmica aplicada en la arquitectura hace ya varios años en estructuras y edificaciones de diferente modelo. La función parece reflejar con mayor precisión el deterioro de una estructura de la edificación, esta se aplica para calcular la intensidad con que se pueda dar un movimiento de la tierra producido por un sismo.

Funciones trigonométrica.

La función seno: el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, el rango es el intervalo [-1.1]. Esto significa que el máximo valor de la función seno es 1 y el mínimo valor es -1; en otras palabras la función seno no puede ser mayor que 1 ni menor que -1. La función seno es periódica; esto quiere decir que su grafica continua indefinidamente de derecha a izquierda con la misma forma. La grafica seno es impar y continua.

La función coseno: el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, el rango es el intervalo [-1,1]. La función coseno es periódica, la función es par, puesto que: Cos(-A)=Cos A, lo cual significa que la gráfica es simétrica respecto al eje vertical. La función coseno es continua, es decir está definida para todos los elementos del dominio, intuitivamente su grafica no presenta saltos, por lo que es posible trazarla sin levantar la mano del papel.

Función tangente:  El rango de la función es el conjunto de los números reales, la función es periódica y su periodo es 180°, por cuanto: Tan A = Tan (A+ k 180°). La función tangente es impar y no es continua, es creciente en todo su dominio.

La matemática ayuda para la estructuración de diferentes edificios precisos y seguros entre otras cosas, las funciones trigonométricas nos ayudan a calcular distancias medidas para no cometer mayores errores hay que saber utilizarlas muy bien.

Aplicación de Matrices en la arquitectura

Las matrices se emplean para diferentes aplicaciones y sirven en particular para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales, o para representar las aplicaciones lineales.

Las matrices en la arquitectura consiste en ver las zonas del proyecto y sus relaciones ya sean directas, indirectas o nulas, pueden ser interpretados por figuras geométricas regulares de un mismo tipo, estos se ordenan de acuerdo a la relación que existen entre ellos

Aplicación de cónicas en la Arquitectura.

La sección cónica o simplemente cónica se refiere a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano.

Por otro lado la arquitectura es el arte de proyectar edificios, estructuras y espacios, dejar espacio a la imaginación y creatividad para poder lograr un proyecto.

La aplicación de las cónicas en la arquitectura se la puede observar de distintas manera y en distintos edificios diseñados por diversos arquitectos. Se podría decir que la aplicación de las mismas es para dar un toque de elegancia o también se podría decir un toque de interés y estilo propio de quien diseña su proyecto o edificio, o en si pueden ser parte de la estructura de funcionamiento del mismo.

Un claro ejemplo seria la “Catedral de Brasilia” una obra arquitectónica realizada por el arquitecto Oscar Niemeyer.

Es una estructura hiperboloide construida de hormigón y con su techo de vidrio parece que se alza hacia el techo, este proyecto se basa en los hiperboloides de revolución, en donde las secciones son asimétricas, cada columna posees una sección hiperbólica, el conjunto representa las manos moviéndose hacia el cielo. 

Para tener una idea más clara de su estructura el hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría.